38. 경제학에서 주로 사용하는 미분 공식

어디까지나 우리는 수학이 아닌 경제학을 학습한다는 점을 잊지 말아야 합니다. 그럼에도 불구 하고 경제학의 엄밀한 증명을 위해서는 수학적 도구를 사용하는 게 사실이죠. 미분도 같은 관점에서 생각하시면 좋겠습니다. 그나마 다행인 것은, 원론 수준에서 소개하는 미분 공식은 그리 다양하지 않다는 점입니다. 여기서는 기본적으로 알아두어야 할 식을 소개합니다.

甲기업의 단기 총비용함수가 C＝25＋5Q일 때, 한계비용은?

우리는 아직 총비용, 한계비용에 대해 학습하지 않았습니다만 이 경우 25＋Q에서 상수인 25는 0이 되고 5Q는 (Q가 1이 되므로) 5입니다. 즉 한계비용은 5입니다.

Q＝L 0.5 K 0.5 에서 노동의 한계생산과 평균생산은 각각 얼마인가?

미분에 대해 어느 정도 익숙해져야만 풀 수 있는 문제입니다. 하지만 경제학에서 이 정도는 기본 으로 출제됩니다. 일단 한계생산은 노동(L)에 대해 미분하므로 0.5(K/L) 0.5 , 평균생산은 노동(L)으로 나눈 값이기 때문에 (K/L) 0.5 가 됩니다.

완전경쟁기업의 총비용이 TC＝Q 3 －6Q 2 ＋12Q＋32와 같을 때 기업이 단기적으로 손실을 감수 하면서도 생산을 계속하는 시장 가격의 구간은?

이 문제의 경우 시장이론 중 완전경쟁의 조업중단점에 관한 유형인데, 고정비용에 해당하는 32 를 제외한 값(Q 3 －6Q 2 ＋12Q)이 가변비용입니다. 그리고 평균총비용은 TC를 Q로 나눈 Q 2
－6Q＋12＋32/Q가 되죠. 물론 평균가변비용은 Q 2 －6Q＋12입니다. 이때 평균총비용의 최저점을 구할 때 미분을 적용합니다. 계산하면 2Q－6－32Q 2 입니다. 반면 평균가변비용의 최저점은 2Q－6이죠. 이 값이 0이 되는 Q를 구하면 3입니다. 그리고 이 3을 평균가변비용에 다시 대입하 고요. 전반적인 전개과정에서 미분이 어떻게 적용되는지만 알고 넘어가면 됩니다.

Solow 성장모형의 생산함수는 y＝k 1/3 , 저축률은 40%, 인구증가율은 6%, 감가상각률은 4%이 다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, y는 1인당 생산, k는 1인당 자본이다.)

거시경제학의 문제 하나를 가져와봤는데요. 배경지식이 없으면 풀기 어려습니다. 아무튼 이런 식으로 1인당 생산함수가 주어졌을 때 이를 총생산함수로 변환하고, 다시 미분해서 노동 또는 자본의 한계생산을 구하는 유형도 풀 줄 알아야 합니다.

어느 경제의 필립스곡선과 중앙은행의 손실함수가 다음과 같다고 하자. 필립스곡선은 중앙은행 에게 제약조건으로 작용하며, 중앙은행은 손실함수가 최소화되도록 인플레이션율(π)을 선택한
다. 장기균형에서 인플레이션율(π)은? (단, u는 실제실업률, u n 은 자연실업률로 0.05(5%), π e 는 기대인플레이션율이다)
• 필립스곡선: u＝u n －(π－π e )
• 손실함수: L＝4(u－0.02) 2 ＋6(π－0.01) 2

이것도 거시경제학의 한 유형인데요. 처음에는 매우 낯설게 느껴질 것입니다. 그런데 손실함수가 최소화되도록 인플레이션을 선택한다는 말이 곧 손실함수를 미분하여 접근하라는 뜻입니다. 이걸 알면 문제 난이도가 상당히 낮아지죠. 그 다음에는 필립스곡선을 대입하고, π에 대해 정리한 후장기균형(π＝π e )을 고려해 풀면 됩니다.

다시 한번 강조하지만, 우리는 지금 당장 이 문제를 이해하거나 풀려는 게 아닙니다. 미분이라는 것이 경제학에서 어떻게 쓰이는지를 대략적으로 알고 가자는 뜻입니다. 여러분께서는 앞으로 수많은 문제를 풀 것이고, 이 과정에서 자주 쓰이는 공식은 자연스레 익혀집니다. 예컨대 4x라고 하면 “기울기가 4인 직선 형태이겠구나” x 2 이라면 “x재 량을 늘려감에 따라 그 결과는 점차 커지 겠구나(체증).” x 1/2 이라면 “체감하겠구나”와 같은 식이죠. 아무래도 비전공자 특히 본인 스스로 수학에 약하다고 생각하시는 분들이 미분을 어려워하는데요. 경제학에서 다루는 미분은 결국 최적점을 찾는 수단입니다. 출제의도를 파악하고 식만 정확히 전개하면 충분히 풀 수 있는 수준입니다.